Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи. Призма определение призмы
Умение определять объем пространственных фигур является важным для решения геометрических и практических задач. Одной из таких фигур является призма. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, и покажем, как вычислять объем наклонной призмы.
Что понимают под призмой в геометрии?
Речь идет о правильном полиэдре (многограннике), который образован двумя одинаковыми основаниями, находящимися в параллельных плоскостях, и несколькими параллелограммами, соединяющими отмеченные основания.
Основаниями призмы могут быть произвольные многоугольники, например, треугольник, четырехугольник, семиугольник и так далее. Причем число углов (сторон) многоугольника определяет название фигуры.
Любая призма, имеющая в основании n-угольник (n - число сторон), состоит из n+2 граней, 2 × n вершин и 3 × n ребер. Из приведенных чисел видно, что количества элементов призмы соответствуют теореме Эйлера:
3 × n = 2 × n + n + 2 - 2
Ниже рисунок показывает, как выглядят треугольные и четырехугольные призмы, сделанные из стекла.
Виды фигуры. Наклонная призма
Выше уже было сказано, что название призмы определяется числом сторон многоугольника в основании. Однако существуют и другие особенности в ее строении, определяющие свойства фигуры. Так, если все параллелограммы, образующие боковую поверхность призмы, представлены прямоугольниками или квадратами, то такая фигура называется прямой. Для расстояние между основаниями равно длине бокового ребра любого прямоугольника.
Если же некоторые или все боковые стороны являются параллелограммами, то речь идет о наклонной призме. Высота ее уже будет меньше, чем длина бокового ребра.
Еще один критерий, по которому проводят классификацию рассматриваемых фигур — это длины сторон и углы многоугольника в основании. Если они равны друг другу, то многоугольник будет правильным. Прямая фигура с правильным многоугольником в основаниях называется правильной. С ней удобно работать при определении площади поверхности и объема. Наклонная призма в этом плане представляет некоторые трудности.
На приведенном рисунке показаны две призмы, имеющие четырехугольное основание. Угол 90° показывает принципиальную разницу между прямой и наклонной призмой.
Формула для определения объема фигуры
Часть пространства, ограниченная гранями призмы, называется ее объемом. Для рассматриваемых фигур любого типа эту величину можно определить по следующей формуле:
Здесь символом h обозначена высота призмы, которая является мерой дистанции между двумя основаниями. Символ S o - одного основания площадь.
Площадь основания найти несложно. Учитывая тот факт, является правильным многоугольник или нет, а также зная количество его сторон, следует применить соответствующую формулу и получить S o . Например, для правильного n-угольника с длиной стороны a площадь будет равна:
S n = n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)
Теперь перейдем к высоте h. Для прямой призмы определение высоты не представляет никаких трудностей, однако для призмы наклонной - это непростая задача. Решать ее можно различными геометрическими методами, отталкиваясь от конкретных начальных условий. Тем не менее существует универсальный способ определения высоты фигуры. Опишем его кратко.
Идея заключается в нахождении расстояния от точки в пространстве до плоскости. Предположим, что плоскость задана уравнением:
A × x+ B × y + C × z + D = 0
Тогда от точки с координатами (x 1 ; y 1 ; z 1) плоскость будет находиться на расстоянии:
h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (A 2 + B 2 + C 2)
Если координатные оси расположить так, что точка (0; 0; 0) будет лежать в плоскости нижнего основания призмы, тогда уравнение для плоскости основания можно записать так:
Это означает, что формула для высоты запишется так:
Достаточно найти координату z любой точки верхнего основания, чтобы определить высоту фигуры.
Пример решения задачи
На рисунке ниже дана Основанием наклонной призмы является квадрат со стороной 10 см. Необходимо вычислить ее объем, если известно, что длина бокового ребра равна 15 см, а острый угол фронтального параллелограмма равен 70°.
Поскольку высота h фигуры также является высотой параллелограмма, то используем формулы для определения его площади, чтобы найти h. Обозначим стороны параллелограмма так:
Тогда можно записать для него следующие формулы для определения площади S p:
S p = a × b × sin (α);
Откуда получаем:
Здесь α - острый угол параллелограмма. Поскольку основанием является квадрат, то формула объема наклонной призмы примет вид:
V = a 2 × b × sin (α)
Подставляем из условия данные в формулу и получаем ответ: V ≈ 1410 см 3 .
Объем наклонной призмы
Все призмы делятся на прямые и наклонные .
Прямая призма, основанием
которой служит правильный
многоугольник, называется
правильной призмой.
Свойства правильной призмы:
1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны .
Сечение ПРИЗМЫ.
Ортогональное сечение призмы - это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру.
Боковая поверхность призмы равна произведению периметра ортогонального сечения на длину бокового ребра.
S б =P орт.сеч C
1. Расстояния между ребрами наклонной
треугольной призмы равны: 2см, 3 см и 4см
Боковая поверхность призмы- 45см 2 .Найдите ее боковое ребро.
Решение:
В перпендикулярном сечении призмы треугольник, периметр которого 2+3+4=9
Значит боковое ребро равно 45:9=5(см)
Найдите неизвестные элементы
правильной треугольной
Призмы
по элементам, заданным в таблице.
ОТВЕТЫ.
Спасибо за урок.
Домашнее задание.
Определение призмы:
А1А2…АnВ1В2Вn– призма
Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания призмы
Параллелограммы А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – боковые грани
Отрезки А1В1, А2В2…АnBn – боковые ребра призмы
Виды призм
Шестиугольная Треугольная Четырехугольная призма призма призма
Наклонная и прямая призма
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям то призма называется прямой , в противном случае – наклонной .
Правильная призма
Призма называется правильной , если она прямая и ее основания - правильные многоугольники.
Площадь полной поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы
Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна половине произведения периметра основания на высоту призмы.
Объем наклонной призмы
Теорема
Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
Доказательство
Доказательство
Докажем сначала теорему для треугольной призмы, а затем - для произвольной призмы.
1. Рассмотрим треугольную призму с объемом V, площадью основания S и высотой h. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (х) - площадь получившегося сечения.
Докажем, что площадь S (х) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники ABC (основание призмы) и А1B1С1 (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырехугольник АA1BB1 - параллелограмм (отрезки АА1 и ВВ1 равны и параллельны), поэтому А1В1=АВ. Аналогично доказывается, что В1С1=ВС и А1С1=АС. Итак, треугольники А1В1С1 и ABC равны по трем сторонам. Следовательно, S(x)=S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а=0 и b=h, получаем
2. h h h, S S * h. Теорема доказана.
2. Докажем теперь теорему для произвольной призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h . Выразим объем каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен S * h. Теорема доказана.
«Объём тел» - Ф(x). Ф(х1). Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса. Ф(хi). Ф(х2). a x b x. При а =х и b=x в сечение может вырождаться точка, например, при х = а.
«Объем понятия» - 1.Площадь полной поверхности куба равна 6 м2. Или объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. В ходе урока проводится дифференцированная проверочная работа с использованием тестов. Объёмы геометрических тел.
«Объёмы» - Упражнение 7. Упражнение 8*. Боковые ребра равны 3 и составляют с плоскостью основания угол 45о. Объем наклонной призмы 3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Объем наклонной призмы 1. Ответ: Плоскость, проходящая через центры симметрии параллелепипедов. Принцип Кавальери.
«Объёмы тел» - Объём пирамиды равен одной трети произведения основания на высоту. Объём пирамиды. Объём цилиндра. 2010 г. h. V=1/3S*h. Объемы подобных тел. V=a*b*c. Объём прямой призмы. Объемы тел. Следствие. Объём наклонной призмы. Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях , а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Призма является частным случаем цилиндра. Параллелепипед является частным случаем призмы.
Призма обладает следующим свойством:
Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её основанию, делит данную призму на две призмы так, что отношение боковых поверхностей и отношение объёмов этих призм равно отношению длин их боковых рёбер. Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её боковому ребру, делит данную призму на две призмы так, что отношение объёмов этих призм равно отношению длин их боковых рёбер. Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её боковому ребру, делит данную призму на две призмы так, что отношение объёмов этих призм равно отношению площадей их основания.
Виды призм
Прямая призма. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.
Наклонная призма. Боковые рёбра наклонной призмы находятся относительно плоскости основания под углом, отличным от $90^\circ$.
Правильная призма. Основанием прямой призмы является правильный многоугольник. Её боковые гран -- равные прямоугольники.
Полуправильным многогранником называется правильная призма, боковые грани которой -- квадраты.
Объём прямой призмы
Для вывода формулы вычисления объёма правильной призмы возьмём призму, в основании которой лежит треугольник. Достроим её до прямоугольного параллелепипеда (рисунок 1).
Рисунок 1. Тетраэдр, достроенный до параллелепипеда
Из предыдущей главы мы знаем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен:
Т.к. полученный параллелепипед состоит из исходной призмы и призмы, равной ей по объёму, то объём исходной призмы будет равен
где $a$, $b$, $c$ длины сторон $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, и их произведение равно площади основания исходной призмы, то запишем в общем виде формулу нахождения объёма прямой призмы:
где $S_{осн.}$ -- площадь основания призмы, $H$ -- высота, проведённая к основанию призмы.
Данная формула верна для прямой призмы с любым многоугольником в основании.
Объём наклонной призмы
Для вывода формулы нахождения объёма наклонной призмы рассмотрим треугольную наклонную призму $ABCDFE$. Проведём через ребро $DC$ плоскость $\alpha $, перпендикулярную основанию $ABCD$ исходной призмы, и построим треугольную усечённую призму (рисунок 2).
Рисунок 2. Наклонная призма, плоскость $\alpha $
Теперь через ребро $AB$ проведём плоскость $\beta $, параллельную плоскости $\alpha $ (рисунок 3).
Рисунок 3. Наклонная призма, плоскости $\alpha $ и $\beta $
Если применить такое преобразования к наклонным граням ещё раз, то получится призма, у которой все боковые грани перпендикулярны основанию. Снова получился прямая призма.
Если её подвергнуть подобному преобразованию (сначала дополнить первой усечённой призмой, затем отсечь вторую усечённую призму), то достроенная и отсекаемая призмы совмещаются параллельным переносом на отрезок $AB$. Из этого следует, что фигуры имеют одинаковый объём.
Следовательно, объём построенной прямой призмы равен объёму исходной наклонной.
Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:
Вывод
Объём любой призмы (наклонной и прямой) находится по формуле:
где $a\cdot b$ - площадь основания, $c$ - высота призмы.
