Свойства числовых последовательностей. Способы задания числовых последовательностей

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

1. Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n +1 < ….

2. Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

3. Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Например: y 1 = 1; y n = n 2…– возрастающая последовательность. y 1 = 1; – убывающая последовательность. y 1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

4. Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

5. Последовательность называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

6. Последовательность называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

7. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. есть такое положительное число, что все члены данной последовательности по модулю не превосходят это число. (Но ее ограниченность с двух сторон не обязательно означает, что она конечная).

8. Последовательность может иметь только один предел.

9. Любая неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (lim).

10. Любая невозрастающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Предел последовательности – такая точка (число), в окрестностях которой расположено большинство членов последовательности, они плотно подходят к этому пределу, но не достигают его.

Геометрическая и арифметическая прогрессии являются частными случаями последовательности.

Способы задания последовательности:

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

Пример. yn = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: yn = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

История Фибоначчи:

Fibonacci (Leonardo of Pisa), ок. 1175–1250

Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. В математику его привела практическая потребности установить деловые контакты. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, был первым из великих математиков Европы позднего Средневековья. Будучи рожденным в Пизе в богатой купеческой семье, он пришел в математику благодаря сугубо практической потребности установить деловые контакты. В молодости Леонардо много путешествовал, сопровождая отца в деловых поездках. Например, мы знаем о его длительном пребывании в Византии и на Сицилии. Во время таких поездок он много общался с местными учеными.

Числовой ряд, носящий сегодня его имя, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liber abacci», написанной в 1202 году:

Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Можете убедиться, что число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев месяцев будет соответственно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором - сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа - числа Фибоначчи. Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на два сегмента, так что соотношение между большим и меньшим сегментом будет пропорционально соотношению между всей линией и большим сегментом. Этот коэффициент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение. В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, больше всего радует глаз. Если вы возьмете последовательные пары из ряда Фибоначчи и будете делить большее число из каждой пары на меньшее, ваш результат будет постепенно приближаться к золотому сечению.

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них - филлотаксис (листорасположение) - правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха. Семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из спиралей, являются членами удивительной математической последовательности. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против. И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

Задача№1:

Напишите первые пять членов последовательности.

1. а n =2 n +1/2 n

а n =2 n +1/2 n

Задача№2:

Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 3.

Ответ: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, а n =3n

Задача№3:

Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1.

Ответ:5,9,13,17,21....... 4 n +1 , а n =4n+1

№19. Функция.

Функция (отображение, оператор, преобразование) - математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция - это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной х однозначно определяет значение выражения , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека - его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Можно дать и другое определение. Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

Множество элементов некоторой Ф., подставляемых вместо х, называют областью ее определения, а множество элементов у некоторой Ф. называют областью ее значений.

История термина:

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному. Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем - у Лакруа (1806 год) - уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год). К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

№20. Способы задания функции.

Различают 4 способа задания функции:

1. табличный Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных

значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Удобен, когда f --конечное множество, когда же f бесконечное, указывается лишь избранные пары (х,у).

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Достоинства : точность, быстрота, по таблице значений легко найти нужное значение функции. Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений.

Недостатки : неполнота, отсутствие наглядности. В некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

2. аналитический (формулы). Чаще всего закон, устанавливающий связь между

аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Является наиболее важным для МА (мат.анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания. Одна и та же функция может быть задана различными формулами: y =∣sin(x )∣y =√1−cos2(x ) Иногда в различных частях своих областей определяемая функция может быть задана различными формулами f (x )={f 1(x ),x ∈D 1 fn (x ),x ∈Dn ∪nk =1Dk =D (f ) . Часто при этом способе задания функции область определения не указывается, тогда под областью определения понимается естественная область определения, т.е. множество всех значений x при которых функция принимает действительное значение.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Частным случаем аналитического способа задания функции является задание функции уравнением вида F(x,y)=0 (1) Если это уравнение обладает свойством, что ∀x ∈Дсопоставляется единственное y , такое, что F (x ,y )=0, то говорят, что уравнение (1) на Д неявно задает функцию. Еще один частный случай задания функции -- параметрический, при этом каждая пара (x ,y )∈f задается с помощью пары функций x =ϕ(t ),y =ψ(t ) где t ∈M .

2. Определить арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних чисел получено среднее, и вместо знака * вставить пропущенное число: ,3104,62,51043,60,94 1,7*4,43,1*37,2*0,8

3. Учащиеся решали задание, в котором требуется найти пропущенные числа. У них получились разные ответы. Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки. Задание Ответ 1Ответ

Определение числовой последовательности Говорят, что задана числовая последовательность, если всякому натуральному числу (номеру места) по какому-либо закону однозначно поставлено в соответствие определенное число (член последовательности). В общем виде указанное соответствие можно изобразить так: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, …, y n, … … n … Число n есть n-ый член последовательности. Всю последовательность обычно обозначают (y n).

Аналитический способ задания числовых последовательностей Последовательность задана аналитически, если указана формула n-ого члена. Например, 1) y n= n 2 – аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – постоянная (стационарная) последовательность 2) y n= 2 n – аналитическое задание последовательности 2, 4, 8, 16, … Решить 585

Рекуррентный способ задания числовых последовательностей Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны ее предыдущие члены 1) арифметическая прогрессия задается рекуррентными соотношениями a 1 =a, a n+1 =a n + d 2) геометрическая прогрессия – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Закрепление 591, 592 (a, б) 594, – 614 (a)

Ограниченность сверху Последовательность (y n) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n) ограничена сверху, если существует такое число M что для любого n выполняется неравенство y n M. M – верхняя граница последовательности Например, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Ограниченность снизу Последовательность (y n) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Другими словами, последовательность (y n) ограничена сверху, если существует такое число m что для любого n выполняется неравенство y n m. m – нижняя граница последовательности Например, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Ограниченность последовательности Последовательность (y n) называют ограниченной, если можно указать такие два числа A и B, между которыми лежат все члены последовательности. Выполняется неравенство Ay n B A – нижняя граница, B – верхняя граница Например, 1 – верхняя граница, 0 – нижняя граница

Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например," title="Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> title="Убывающая последовательность Последовательность называется убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Например,"> 23

Проверочная работа Вариант 1Вариант 2 1. Числовая последовательность задана формулой а) Вычислите первые четыре члена данной последовательности б) Является ли членом последовательности число? б) Является ли членом последовательности число 12,25? 2. Составьте формулу -ого члена последовательности 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Урок № 32 АЛГЕБРА	Учитель математики, первой категории Гаун Ольга Викторовна. Восточно-Казахстанская область Глубоковский район КГУ «Черемшанская средняя школа»
Тема: Числовая последовательность и способы ее задания
Основные цели и задачи урока	Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности. Развивающа я: развитие навыков логического мышления; развитие вычислительных навыков; развитие культуры устной речи, развитие коммуникативности и сотрудничества. Воспитательная : воспитание наблюдательности, привитие любви и интереса к предмету.
Ожидаемые результаты освоения темы	В ходе урока приобретут новые знания о числовых последовательностях и способах ее задания. Научатся находить верное решение, составлять алгоритм решения и пользоваться им при решении заданий. Путем исследования обнаружат их некоторые свойства. Вся работа сопровождается слайдами. Применение ИКТ даст возможность провести урок оживленно, выполнить большой объем работы, со стороны ребят будет искренний интерес и эмоциональное восприятие. Одарённые ученики выступят с сообщением о числах Фибоначчи и о золотом сечении. Универсальные учебные действия, на формирование которых направлен образовательный процесс: умение работать в паре, развивать логическое мышление, умение анализировать, исследовать, делать выводы, отстаивать свою точку зрения. Обучить навыкам общения и сотрудничества. Использование данных технологий способствует развитию у обучающихся универсальных способов деятельности, опыта творческой деятельности, компетентности, коммуникабельности.
Ключевые идеи урока	Новые подходы в преподавании и обучении Диалоговое обучение Обучение тому, как обучаться Обучение критическому мышлению Обучение талантливых и одарённых детей
Тип урока	Изучение новой темы
Методы обучения	Наглядный (презентация), словесный (беседа, объяснение, диалог), практический.
Формы организации учебной деятельности уч-ся	фронтальная; парная; индивидуальная.

ХОД УРОКА

Организационный момент

(Приветствие учащихся, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания).

Мотивация урока.

«Числа управляют миром»,- говорили древнегреческие ученые. «Все есть число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире. Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами.

Введение в тему, изучение нового материала.

Давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:

–понедельник, вторник,…..

– январь, февраль, март…;

– Алиев, Гордеева, Грибачева… (список класса);

–10,11,12,…99;

Вывод: Это последовательности, то есть некоторый упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте. Итак, тема урока – последовательность.

Сегодня мы будем говорить о видах и составляющих числовых последовательностей, а также о способах их задания. Последовательности будем обозначать так: (аn), (bn), (сn) и т.д.

А сейчас я предлагаю вам первое задание: перед вами некоторые числовые последовательности и словестное описание этих последовательностей. Вам необходимо найти закономерность каждого ряда и соотнести с описанием. (показать с помощью стрелки) (Взаимопроверка)

Рассмотренные нами ряды и есть примеры числовых последовательностей .

Элементы, образующие последовательность, называются членами последовательности и называются соответственно первым, вторым, третьим,… n - ным членами последовательности. Обозначают члены последовательности так а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; … а n ; где n – номер , под которым данное число находится в последовательности.
На экране записаны последовательности:
( На перечисленных последовательностях отрабатываются форма записи члена последовательности a n , и понятия предыдущего и последующего членов ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Назовите а 1 для каждой последовательности, а 3 и т.д. А смогли бы вы продолжить каждый из этих рядов? Что для этого необходимо знать?

Давайте разберем с вами еще такие понятия как последующий и предыдущий .

(например, для а 5…, а для а n ?) - запись на слайде a n +1, a n -1

Виды последовательностей
( на перечисленных выше последовательностях отрабатывается навык определять виды последовательностей )
1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е. a n < a n +1.
2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е. a n > a n +1 .
3) Бесконечная
4) Конечная
5) Знакочередующаяся
6) Постоянная (стационарная)

Попробуйте дать определение каждому виду и охарактеризуйте каждую из предложенных последовательностей.

Задания для устной работы

Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а 1 ; а 4 ; а 10 ; а n ;

Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)

Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)

Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)

Физпауза (тоже связана с темой сегодняшнего урока: звездное небо, планеты солнечной системы…в чем связь?)

Способы задания последовательностей
1) словесный – задание последовательности описанием;
2) аналитический – формулой n -го члена;
3) графический – с помощью графика;
4) рекуррентный – любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие
Сегодня на уроке мы разберем первых два способа. Итак, словестный способ. Может быть кто-нибудь из вас попробует задать какую-либо последовательность?

(Например: Составьте последовательность нечетных натуральных чисел . Охарактеризуйте эту последовательность: возрастающая, бесконечная)
Аналитический способ: с помощью формулы n-ого члена последовательности.

Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если х n =3n+2, то

х 1 =3*1+2=5;

х 2 =3*2+2=8

х 5 =3 . 5+2=17;

х 45 =3 . 45+2=137 и т.д. Так каково преимущество аналитического способа перед словестным ?

А я вам предлагаю следующее задание: даны формулы задания некоторых последовательностей и сами последовательности, образованных по этим формулам. В этих последовательностях пропущены некоторые члены. Ваша задача, работая в парах , заполнить пропуски.

Самопроверка (на слайде появляется правильный ответ)

Представление творческого проекта «Числа Фибоначчи» (опережающее задание )

Сегодня мы познакомимся со знаменитой последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Слайд) Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота. Леонардо Фибоначчи (1180-1240). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).

Просмотр видеофильма.

Наверное, вы не совсем поняли какова связь между спиралью и рядом Фибоначчи. Поэтому я покажу, как она получается .

Если мы построим рядом два квадрата со стороной 1,затем набольшей стороне равной 2 другой, затем на большей стороне, равной 3 еще квадрат так до бесконечности…Потом в каждом квадрате, начиная с меньшего, построим четверть дуги, то получим спираль, о которой идет речь в фильме.

На самом деле практическое применение знаний, полученных на этом уроке в реальной жизни достаточно велико. Перед вами несколько задач из разных научных областей.

(Индивидуальная работа)

Задача 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Задача 2.

(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

Задача 3.

Задача 4. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).

Задача 5 . Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?
Задача 6 . Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин? ( 10)

Задача 7 . При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Задача 8 . Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни? (45000)

Быстро и без ошибок решать такие задачи нам позволит изучение следующих тем этой главы «Прогрессии».

Домашнее задание: стр.66 №151, 156, 157

Творческое задание: сообщение о треугольнике Паскаля

Подведение итого. Рефлексия. (оценка «приращения» знаний и достижения целей)

Какова была цель сегодняшнего урока?

Цель достигнута?

Продолжи высказывание

Я не знал….

Теперь я знаю…

Задачи на практическое применение свойств последовательностей (прогрессий)

Задача 1. Продолжи последовательности чисел:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Задача 2. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Задача 3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 1 м/с за каждую последующую секунду изменял свою скорость на 0,6 м/с. Какую скорость он будет иметь спустя 10 секунд?

Задача 4 . Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)?

Задача 5. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?

Задача 6. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Задача 7. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Задача 8. Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни?

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI

§ 127. Числовые последовательности и способы их задания. Конечныеи бесконечные последовательности.

Рассмотрим следующие три совокупности чисел:

Естественно считать, что каждое число в любой из этих совокупностей снабжено номером в соответствии с тем местом, которое оно занимает в этой совокупности. Например, во второй совокупности число 1 имеет номер 1, число - 1 / 2 номер 2, число 1 / 3 номер 3 и т. д.

Наоборот, какой бы номер мы ни указали, в каждой из этих совокупностей найдется число, снабженное этим номером. Например, номер 2 в первой последовательности имеет число 2, во второй - число - 1 / 2 , в третьей - число sin 2. Аналогично номер 10 имеют: в первой последовательности - число 10, во второй - число - 1 / 10 , в третьей - число sin 10 и т. д. Таким образом, в приведенных выше совокупностях каждое число имеет вполне определенный номер и полностью определяется этим номером.

Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п (п = 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью.

Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a 1 , второй a 2 , .... п -й член a n и т. д. Вся числовая последовательность обозначается

a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... или {a n }.

Задать числовую последовательность - это знанит указать, как отыскивается тот или иной ее член, если известен номер занимаемого им места. Существует много различных способов задания числовых последовательностей. Ниже мы остановимся на некоторых из них.

1. Обычно числовая последовательность задается с помощью формулы, позволяющей по номеру члена последовательности определить этот член. Например, если известно, что при любом п

a n = n 2 ,

a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9

и т. д. При a n = sin π / 2 п мы получим: a 1 = sin π / 2 = 1, a 2 = sin π = 0, a 3 = sin 3 π / 2 = - 1, a 4 = sin 2π = 0 и т. д.

Формула, позволяющая найти любой член числовой последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.

2. Бывают случаи, когда последовательность задается посредством описания ее членов. Например, говорят, что последовательность

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...

составлена из приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д. В подобных случаях иногда вообще нельзя установить формулу общего члена; тем не менее последовательность оказывается полностью определенной.

3. Иногда указывается несколько первых членов последовательности, а все остальные члены определяются этими заданными членами по тому или иному правилу. Пусть, например,

a 1 = 1, a 2 = 1,

а каждый последующий член определяется как сумма двух предыдущих. Другими словами, при любом п > 3

a n = a n - 1 + a n - 2

Так определяется числовая последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... члены которой носят название «чисел Фибоначчи» [по имени итальянского математика Леонарда Пизанского (около 1170-1250), которого называли также Фибоначчи, что означает «сын Боначчо»].Они обладают многими интересными свойствами, рассмотрение которых, однако, выходит за пределы нашей программы.

Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, - бесконечной последовательностью.

Например, последовательность всех четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... бесконечна, а последовательность однозначных четных положительных чисел 2, 4, 6, 8 конечна.

Упражнения

932. Написать 4 первых числа последовательности с общим членом:

933. Найти формулу общего члена для каждой из данных последовательностей:

а) 1, 3, 5, 7, 9, ... ; . д) tg 45°, tg 22°30", tg 11°15", ... ;

б) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; е) 1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , 1 / 16 , ... ;

в) 3, -3, 3, -3, 3, ... ; ж) 1, 9, 25, 49, 81.....

г) 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , 1 / 81 , ....;

934. Является ли конечной последовательность всех положительных корней уравнения:

а) sin х = х - 1; б) tg х = х ; в) sin х = ах + b ?

Обучающая цель : дать понятие и определение числовой последовательности, рассмотреть способы задания числовых последовательностей, решать упражнения.

Развивающая цель : развивать логическое мышление, познавательные навыки, техники вычисления, навыки сравнения при выборе формул, навыки учебного труда

Воспитательная цель : воспитание положительных мотивов к учебе, добросовестного отношения к труду, дисциплинированности.

Тип урока : урок закрепления метериала.

Оборудование : интерактивная доска, тестирующее установка ACTIVwote,ACTIVwand,ACTIVslate, раздаточный материал.

План урока

Организация урока.
Повторение теоретического материала. Фронтальный опрос. Историческая справка.
Закрепление: Решение упражнений по теме «Способы задания числовых последовательностей».
Проверка знаний. Тест
Домашнее задание.

Ход урока

I . Организационный момент.

II . Повторение теоретического материала.

1) Фронтальныйопрос.

1. Что называется числовой последовательностью?

Ответ : Множество чисел, элементы которого можно пронумеровать.

2. Приведи пример числовой последовательности.

Ответ :

2,4,6,8,10,…..
1,3,5,7,9,11,…..
3,6,9,12,15,….

3. Что называется членами числовой последовательности?

Ответ : Числа, составляющие числовую последовательность.

а 1 =2,а 2 =4,а 3 =6,а 4 =8,….
а 1 =1,а 2 =3,а 3 =5,а 4 =7,….
а 1 =3,а 2 =6,а 3 =9,а 4 =12,….

4. Что такое общий член числовой последовательности?

Ответ : ап называется общим членом последовательности,а саму последовательность коротко обозначают через {ап}.

5. Как обозначают числовую последовательность?

Ответ : Обычно числовую последовательность обозначают малыми буквами латинского алфавита с индексами, указывающими на номер этого члена в последовательности: а 1 ,а 2 ,а 3 ,а 4 ,….,а п,…

5. Когда числовую последовательность считаются заданной?

Ответ : Если мы можем указать любой член последовательности.

2) Историческая справка.

По словам математика Лейбница «кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет».

ФИБОНАЧЧИ (Леонардо из Пизы)

Fibonacci (Leonardo of Pisa), ок . 1175–1250

Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором - сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи , а сами числа - числа Фибоначчи . Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на два сегмента, так что соотношение между большим и меньшим сегментом будет пропорционально соотношению между всей линией и большим сегментом. Этот коэффициент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение . В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, больше всего радует глаз. Если вы возьмете последовательные пары из ряда Фибоначчи и будете делить большее число из каждой пары на меньшее, ваш результат будет постепенно приближаться к золотому сечению.

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них - филлотаксис (листорасположение) - правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха.Семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из спиралей, являются членами удивительной математической последовательности.

Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против. И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

Числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Последовательность чисел, каждый член которой равен сумме двух предыдущих, имеет множество любопытных свойств.

III. Закрепление.

Работа по учебнику (цепочкой)

№343 Напишите первые пять членов последовательности.

1. а n =2 n +1/2 n

2. х n =3n2+2 n+1

1. Решение:

а n =2 n +1/2 n