Перестановки, сочетания и размещения без повторений. Комбинаторика. Перестановки. Решение задач
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Правило умножения (основная формула комбинаторики)
Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:
Пример 1
Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Решение
Первая монета имеет альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть альтернативы и т.д., т.е. .
Искомое количество способов:
Правило сложения
Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами.
Пример 2
На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги.
Решение
Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая - способами.
По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги.
Размещения и перестановки
Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.
Размещения без повторений , когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по .
Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно:
Пример 3
Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:
Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно
Пример 4
Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?
Решение
Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:
Размещения с повторениями , когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат - размещением с повторениями из элементов по .
Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно
Пример 5
Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Чтобы решение задачи по теории вероятностей было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по теории вероятностей...
Решение
Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по .
Число сочетаний из элементов по равно:
Пример 6
В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Решение
Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:
Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:
Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по .
Число сочетаний с повторениями из элементов по :
Пример 7
На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?
Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:
Разбиение множества на группы
Пусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую - элементов, в -ю группу - элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.
Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую - элементов, в k-ю группу - элементов, равно:
Пример 8
Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Здесь
Число разбиений на 3 подгруппы:
Излагается понятие геометрического закона распределения дискретной случайной величины и рассматривается пример решения задачи. Приведены формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
25) Что называют перестановками?
Перестановки - различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).
26) По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?
Перестановки. Возьмём n различных элементов: a 1 , a 2 , a 3 , …, a n . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называетсяперестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается P n . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :
Символ n ! (называется факториал ) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n .
П р и м е р. Найти число перестановок из трёх элементов: a , b , c .
Р е ш е н и е. В соответствии с приведенной формулой: P
3 = 1 · 2 · 3 = 6.
Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
27) Что называют размещениями? Запишите формулу, по которой вычисляют число размещений из n элементов по m.
Размещения - это упрядоченные подмножества данного конечного множества.
Размещения. Будем составлять группы из m n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m .
Их общее количество обозначается: и равно произведению:
П р и м е р. Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой получим:
Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
28) Что называют сочетаниями? Запишите формулу, по которой вычисляют число сочетаний из n элементов по m.
Сочетание без повторений из n элементов по m есть m -элементное подмножество некоторого n -элементного множества.
Коротко такие сочетания называют "сочетания из m по n " и их число обозначают или . Далее n -элементное множество будем обозначать как n -множество.
Сочетания. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m .
Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле:
Из этой формулы ясно, что
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! = 1 , что является определением 0! .
В соответствии с этим определением получим:
Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:
П р и м е р. Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три.
Р е ш е н и е:
Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
29) По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если элементы повторяются?
Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).
Число перестановок без повторений (n
Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?
Решение.
1. Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.
По формуле (3.3) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.
По формуле (3.4) получаем: 
наборов.
Пример . Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?
Решение. Из данных шести цифр можно составить Р 6 = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р 5 = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600 чисел.
Пример . Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?
Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2,2,2).
По формуле (3.4) получаем: способов.
30) Какой формулой определяется число размещений с повторениями из n элементов по m элементов?
Размещения
Размещениями из n элементов по m элементов (m < n ) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:
Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
Решение.
1. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА .
По формуле (3.1) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.
По формуле (3.2) получаем: наборов.
Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?
Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу (3.2) и вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем комбинаций.
31) Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m ) вычисляется по формуле:
Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.
Решение .
1. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ
По формуле (3.5) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.
По формуле (3.6) получаем: наборов.
Пример . Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
По формуле (3.5) получаем: 
способов.
Пример . В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?
Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6) получаем способов.
Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.
32) Что называют суммой двух событий?
Суммойдвух событийи
называют событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий
называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
33) Что называют произведением двух событий?
Произведением двух событийи называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.
34) Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
Событие
называют независимым от события
, если появление события не меняет вероятности появления события , то есть если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:
.
Свойство независимости событий взаимно: если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Теорема.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:
.
Несколько событий называют попарно независимыми
, если каждые два из них независимы.
Несколько событий называют независимыми в совокупности
, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
35) Сформулируйте теорему сложения?
Вероятность р (А + В ) суммы событий А и В равна
Р (А + В ) = р (А ) + р (В ) – р (АВ ). (2.2)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, т А – число исходов, благоприятных событию А , т В – число исходов, благопри-ятных событию В , а т АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В , равно т А + т В – т АВ (так как в сумме (т А + т В ) т АВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А , и исходы, благоприятные В ). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле 2,2 что и требовалось доказать.
Подсчитаем в MS EXCEL количество перестановок из n элементов. С помощью формул выведем на лист все варианты перестановок (английский перевод термина: permutation).
Перестановкой множества из n элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Элементами множества могут быть числа, буквы и вообще любые объекты. Главное, чтобы эти элементы были различными. Т.к. любому объекту можно сопоставить число, то для Перестановок обычно используют конечное множество целых чисел, например, {1; 2; 3; 4; 5}. Хотя множества из букв также можно часто встретить в литературе. Например, все различные Перестановки множества из трех элементов {a, b, c} – это abc , acb , bac , bca , cab , cba .
Число Перестановок n элементов равно n! (факториал).
Для вычисления факториала в MS EXCEL есть функция =ФАКТР() , английский вариант FACT(). Понятно, что число перестановок растет очень быстро с ростом n: для n=7 число перестановок равно 5040. Справедливости ради, нужно отметить, что зачастую сами варианты перестановок находить не требуется, главное – найти их количество.
Примечание : Перестановки можно считать частным случаем размещений при n=k (см. статью ). Поэтому для вычисления количества перестановок можно использовать функцию ПЕРЕСТ() . Для n=7 число Перестановок вычисляется по формуле =ПЕРЕСТ(7;7)
Примечание : О Перестановках с повторениями (с возвращением элементов обратно во множество, из которого они берутся, после выборки каждого элемента) можно прочитать в статье .
В файле примера создана универсальная формула для вывода всех Перестановок для заданного n. Например, для n=3.
Задача
6 машин разных марок участвуют в гонках на выживание: LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo. Определить число возможных вариантов распределения мест между всеми участниками.
Нам нужно определить число перестановок 6 машин на 6-и местах. Т.е. n=6. Оказывается, что таких перестановок 720: =ПЕРЕСТ(6;6) или 6! =ФАКТР(6)
Воспользуемся файлом примера , чтобы найти все варианты перестановок.
Произвольным образом сопоставим маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: LADA Granta (LG=1), Hyundai Solaris (HS=2), …
Введя в ячейке В5 значение 6, определим все варианты расстановок машин на занятых ими в гонке местах.
Примечание : О Размещениях можно прочитать в статье , а о Сочетаниях в статье .
Перебор всех возможных перестановок может потребоваться для решения различных задач (см. статью и ).
Инверсии перестановок
Для каждой перестановки a 1, a 2, a 3,..., a n из n целых чисел 1, 2, 3, ..., n , инверсией называется пара (a i, a j) если для i < j выполняется a i > a j. Число инверсией в перестановке показывает насколько перестановка является "несортированной" по возрастанию.
Например, число инверсий в перестановке 1, 2, 3, 4 равно 0 (перестановка из 4-х целых чисел отсортирована по возрастанию от 1 до 4), а число инверсий в перестановке 4, 3, 1, 2 равно 5, т.к.:
- первый элемент (i=1) равен 4 и он больше 3-х чисел (с j=2, 3, 4), которые расположены правее (4>3, 4>1, 4>2), т.е. мы имеем 3 инверсии;
- второй элемент (i=2) равен 3 и он больше2-х чисел (с j=3, 4), которые расположены правее (3>1, 3>2), т.е. мы имеем еще 2 инверсии;
- так третий элемент (i=3) равен 1 и он меньше числа с j=4, которое расположено правее (1<2), то эта пара не является инверсией. Т.е. у перестановки 4, 3, 1, 2 число инверсий равно 3+2+0=5.
В файле примера для каждой Перестановки подсчитывается число инверсией.
Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Комбинаторика возникла в XVI веке. Первые комбинаторные задачи касались азартных игр. Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров, для решения других проблем теории информации.
Значительную роль комбинаторные методы играют и в чисто математических вопросах — теории групп и их представлений, изучении основ геометрии, неассоциативных алгебр и др.
Пример комбинаторной задачи. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
I способ. Постараемся выписать все такие числа. На первом месте может стоять любая цифра кроме 0. Например, 2. На втором месте любая цифра из 0, 4, 6 и 8. Пусть 0. Тогда в качестве третьей цифры можно выбрать любую из 4, 6, 8. Получаем три числа
Вместо 0 на второе место можно было поставить 4, тогда третье цифрой можно записать или 0, или 6, или 8:
Рассуждая аналогично, получаем ещё две тройки трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте:
Других, кроме выписанных 12-ти, трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте, и удовлетворяющих условию, нет.
Если на первом месте записать цифру 4, а остальные выбирать из цифр 0, 2, 6, 8, то получим ещё 12 чисел:
По столько же трёхзначных чисел можно составить с цифрой 6 на первом месте и цифрой 8 на первом месте. Значит, искомое количество:
Вот эти числа:
204, 206, 208, 240, 246, 248, 260, 264, 268, 280, 284, 286;
402, 406, 408, 420, 426, 428, 460, 462, 468, 480, 482, 486;
602, 604, 608, 620, 624, 628, 640, 642, 648, 680, 682, 684;
802, 804, 806, 820, 824, 826, 840, 842, 846, 860, 862, 864.
Ответ: 48. ◄
Метод рассуждения, которым мы воспользовались при решении предыдущей задачи, называется перебором возможных вариантов .
Правила сложения и умножения
Комбинаторное правило сложения (правило "или") — одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если имеется n элементов и элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 A n можно выбрать m n способами, то выбрать или A 1 , или A 2 , или, и так далее, A n можно
m 1 + m 2 + ... + m n
способами.
Например, выбрать подарок ребёнку из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог можно
способами.
Ответ: 19. ◄
Правило умножения (правило "и") — ещё одно из важных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 способами и так далее, элемент A n можно выбрать m n способами, то набор элементов (A 1 , A 2 , ... , A n ) можно выбрать
m 1 · m 2 · ... · m n
способами.
Например.
1) Выбрать ребёнку в подарок машинку, плюшевого медведя и железную дорогу, выбирая из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог, можно
9 · 7 · 3 = 189
способами.
Ответ: 189.
2) Воспользуемся правилом умножения для решения задачи, уже рассмотренной выше: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
II способ.
0 не может стоять первым, значит первую цифру нужно выбрать из 2, 4, 6, 8 — 4 способа;
второй цифрой может быть любая из четырёх оставшихся — 4 способа;
третью цифру можно выбрать среди трёх оставшихся — 3 способа.
Итак, искомое количество трёхзначных чисел:
4 · 4 · 3 = 48.
Ответ: 48. ◄
Перестановки
Множество из n элементов называется упорядоченным , если каждому его элементу поставлено в соответствие натуральное число от 1 до n .
Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.
Например, из 4 элементов ♦ ♣ ♠ можно составить следующие 24 перестановки:
| ♦
♣ ♠
| ♦
♣ ♠
| ♣
♦
♠
| ♠
♦
♣
|
| ♦
♠ ♣
| ♦
♠ ♣
| ♣
♦
♠
| ♠
♦
♣
|
| ♦
♣
♠
| ♣
♦
♠
| ♣
♦
♠
| ♠
♦
♣
|
| ♦
♣ ♠
| ♣ ♠ ♦
| ♣
♠ ♦
| ♠
♣
♦
|
| ♦
♠ ♣
| ♠ ♦
♣
| ♣
♠ ♦
| ♠
♣
♦
|
| ♦
♠ ♣
| ♠ ♣ ♦
| ♣
♠ ♦
| ♠
♣
♦
|
◄
Количество перестановок из n элементов принято обозначать P n . С помощью перебора возможных вариантов легко убедиться, в том что
P 1 = 1; P 2 = 2; P 3 = 6; P 4 = 24.
Вообще, число всевозможных перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n , то есть n ! (читается "эн факториал"):
P n = 1 · 2 · 3 · ... · (n - 1 ) · n = n !.
Для P n справедлива рекуррентная формула:
P n = n · P n - 1 .
Значение факториала определено не только для натуральных чисел, но и для 0:
0! = 1 .
| Таблица факториалов целых чисел от
0 до
10
|
|||||||||||
| n
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
| n
!
| 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5 040 | 40 320 | 362 880 | 3 628 800 |
Например, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре места в одном ряду с 1-го по 10-е место, если никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом?
Возможны два случая с одинаковым количеством способов: 1) мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных и 2) наоборот.
Рассмотрим первый случай. Мальчики по нечётным местам могут сесть
P 5 = 120
способами. Столько способов и для девочек на чётных местах. Согласно правилу умножения, мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных могут расположиться
120 · 120 = 14 400
способами. Значит, всего способов
14 400 + 14 400 = 28 800.
Ответ: 28 800. ◄
Перестановки с повторениями
Перестановкой с повторениями из n элементов, среди которых k разных, при этом насчитывается n 1 неразличимых элементов первого типа, n 2 неразличимых элементов второго типа и так далее, n k неразличимых элементов k -го типа (где n 1 + n 2 + … + n k = n ), называется любое расположение этих элементов по n различным местам.
Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n 1 , n 2 , …, n k раз каждый обозначается и вычисляется следующим образом:$$P_{n_1,n_2, ... , n_k}=\frac{n!}{n_1!n_2! ... n_k!}~.$$
Например, сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4?
В данном случае: n = 10, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3, n 4 = 4,$$P_{1, 2, 3, 4}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=12~600.$$
Ответ: 12 600. ◄
Размещения
Размещением из n элементов по m (m ≤ n) m элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Два размещения из n элементов по m считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения.
Например, составим все размещения из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:
A B; A C;A D;
B A; B C; B D;
C A; C В; C D;
D A; D В; D C.
◄
Число всех размещений из n элементов по m обозначают \(A_n^m\) (читается: "А из n по m ") и вычисляется по любой из формул:$$A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-m+1)\\A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$
Примеры задач.
1) Воспользуемся понятием размещений из n элементов по m для решения задачи, уже дважды рассмотренной ранее: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
II I способ.
Первую цифру можно выбрать четырьмя способами из набора 2, 4, 6, 8. В каждом из этих случаев количество пар второй и третей цифры равно числу размещений из 4 оставшихся цифр по 2. Значит искомое количество трёхзначных чисел равно:$$4\cdot A_4^2=4\cdot \frac{4!}{(4-2)!}=4\cdot \frac{4!}{2!}=4\cdot (3\cdot 4)=48.$$Ответ: 48.
2) Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж из шести человек. В него должны входить: командир корабля, первый и второй его помощники, два бортинженера, один из которых старший, и один врач. Командный состав выбирается из 20 лётчиков, бортинженеры — из 15 специалистов, а врач — из 5 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?
Поскольку в выборе командного состава важен порядок, то командира и двух его помощников можно выбрать \(A_{20}^3\) способами. Порядок бортинженеров тоже важен, значит, для их выбора существует \(A_{15}^2\) способов. Врач всего один, для его выбора существует 5 способов. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения и найдём количество возможных экипажей корабля:$$A_{20}^3\cdot A_{15}^2\cdot 5=\frac{20!}{17!}\cdot \frac{15!}{13!}\cdot 5=(18\cdot 19\cdot 20)\cdot (14\cdot 15)\cdot 5=7~182~000.$$Ответ: 7 182 000. ◄
Понятно, что, если m = n , то$$A_n^m=A_n^n=P_n=n!.$$
Справедливо также, что, если m = n - 1 , то$$A_n^{n-1}=A_n^n=P_n=n!.$$
Размещения с повторениями
Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями или выборки с возвращением .
Пусть имеется n различных объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был только что взят), запишем его название, пометив номером 2, и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.
Размещения с повторениями обозначаются \(\overline{A}_n^m\) и, согласно правилу умножения, вычисляются по формуле$$\overline{A}_n^m=n^m.$$Заметим, что здесь допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Это неудивительно: каждый объект после "использования" возвращается обратно и может быть использован повторно.
Например, количество вариантов шестизначного пароля, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 или буквой латинского алфавита (одна и та же строчная и прописная буква — один символ) и может повторяться, равно:$$\overline{A}_{10+26}^6=\overline{A}_{36}^6=36^6=2~176~782~336.$$Если же строчные и прописные буквы считаются различными символами (как это обычно и бывает), то количество возможных паролей становится ещё более колоссальным:$$\overline{A}_{10+26+26}^6=\overline{A}_{62}^6=62^6=56~800~235~584.$$
◄
Сочетания
Сочетанием из n элементов по m (m ≤ n) называется любое множество, состоящее из m элементов, выбранных из данных n элементов.
В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по m считаются различными, если они различаются хотя бы одним элементом.
Например, составим все сочетания из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:
A B; A C;A D;
B C; B D;
C D .
◄
Число всех сочетаний из n элементов по m обозначают \(C_n^m\) (читается: "C из n по m ") и вычисляется по любой из формул:$$C_n^m=\frac{A_n^m}{P_m}$$$$C_n^m=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)~\cdot~ ...~\cdot~ (n-m+1)}{1\cdot2\cdot3~\cdot~...~\cdot ~m}$$$$C_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}.$$
Примеры задач.
1) Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?
Так как порядок маляров в каждой выбранной четвёрке и порядок плотников в каждой выбранной паре не имеет значения, то, согласно комбинаторному правилу умножения, искомое количество способов равно:$$C_{12}^4 \cdot C_5^2 =\frac{12!}{4!\cdot 8!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{9\cdot10\cdot11\cdot12}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot \frac{4\cdot5}{1\cdot 2}=4~950.$$Ответ: 4 950. ◄
2) В классе обучаются 30 учащихся, среди которых 13 мальчиков и 17 девочек. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 учащихся этого класса, если в неё должна входить хотя бы одна девочка?
Количество всех возможных команд по 7 человек из класса равно \(C_{30}^7\). Количество команд в которых только мальчики — \(C_{13}^7\). Значит, количество команд, в которых есть хотя бы одна девочка, равно:$$C_{30}^7 - C_{13}^7 =\frac{30!}{7!\cdot 23!} - \frac{13!}{7!\cdot 6!}=2~035~800-1~716=2~034~084.$$Ответ: 2 034 084. ◄
Сочетания с повторениями
Помимо обычных сочетаний рассматривают сочетания с повторениями .
Пусть в множестве имеется n объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был взят и записан ранее), запишем его название и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.
Принципиальное отличие от размещений с повторениями заключается в том, что в данном случае элементы списка не нумеруются. Например, список "A, С, A, В" и список "А, А, В, С" считаются одинаковыми.
Сочетания с повторениями обозначаются \(\overline{C}_n^m\) и вычисляются по формуле$$\overline{C}_n^m=P_{m,~n-1}=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$И ещё один способ записи той же формулы:$$\overline{C}_n^m=C_{m+n-1}^m=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$Заметим, что подобно размещениям с повторениями, допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Действительно, каждый объект после "использования" возвращается обратно и может быть использован снова и снова.
Например, выясним сколькими способами можно купить 7 пирожных в кондитерском отделе, если в продаже 4 их сорта?
Естественно полагать, что количество пирожных каждого вида не меньше 7, и при желании можно купить только пирожные одного из них. Так как порядок в котором кладут купленные пирожные в коробку не важен, то имеем дело с сочетаниями с повторениями. Так как нужно выбрать 7 пирожных из 4 его видов, то искомое количество способов равно:$$\overline{C}_4^7=\frac{(7+4-1)!}{7!\cdot (4-1)!}=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$
Ответ: 120. ◄
Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты
Равенство$$(x+a)^n=C_n^0x^na^0+C_n^1x^{n-1}a^1+...+C_n^mx^{n-m}a^m+...+C_n^nx^0a^n$$называют биномом Ньютона или формулой Ньютона . Правая часть равенства называется биномиальным разложением в сумму , а коэффициенты \(C_n^0,~C_n^1,~...~,~C_n^n\) — биномиальными коэффициентами .
Свойства биномиальных коэффициентов:
\(~~~~~~~~1.~~C_n^0=C_n^n=1\\ ~~~~~~~~2.~~C_n^m=C_n^{n-m}\\ ~~~~~~~~3.~~C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\\ ~~~~~~~~4.~~C_n^0+C_n^1+C_n^2+~...~+C_n^n=2^n\\ ~~~~~~~~5.~~C_n^0+C_n^2+C_n^4+~... =C_n^1+C_n^3+C_n^5+~...=2^{n-1}\\ ~~~~~~~~6.~~C_n^n+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+~...~+C_{n+m-1}^n=C_{n+m}^{n+1}\\ \)
Свойства биномиального разложения:
1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома,
то есть равно n + 1 .
2. Сумма показателей степеней x и a каждого члена разложения равна показателю степени бинома,
то есть (n - m) + m = n .
3. Общий член разложения (обозначается T n +1 ) имеет вид$$T_{n+1}=C_n^m x^{n-m}a^m,~~~~m=0,~1,~2,~...~,~n.$$
Треугольник Паскаля
Все возможные значения биномиальных коэффициентов (числа сочетаний) для каждого показателя степени бинома n можно записать в виде бесконечной треугольной таблицы. Такая таблица называется треугольником Паскаля:
| \(C_0^0\) | ||||||||||
| \(C_1^0\) | \(C_1^1\) | |||||||||
| \(C_2^0\) | \(C_2^1\) | \(C_2^2\) | ||||||||
| \(C_3^0\) | \(C_3^1\) | \(C_3^2\) | \(C_3^3\) | |||||||
| \(C_4^0\) | \(C_4^1\) | \(C_4^2\) | \(C_4^3\) | \(C_4^4\) | ||||||
| \(C_5^0\) | \(C_5^1\) | \(C_5^2\) | \(C_5^3\) | \(C_5^4\) | \(C_5^5\) |
|||||
| . . . | . . . | . . . |
В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1. Действительно, \(C_n^0=C_n^n=1\). А каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним: \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\).
Таким образом, этот треугольник предлагает ещё один (рекуррентный) способ вычисления чисел \(C_n^m\):
| n
= 0 | 1 | ||||||||||||||||
| n
= 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||
| n
= 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||
| n
= 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||
| n
= 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||
| n
= 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||||
| n
= 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||||||
| n
= 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||
| n
= 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
||||||||
| ... | ... | ... | ... | ... |
Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.
План занятия:
1. Число размещений.
2. Число перестановок.
3. Число сочетаний.
4. Повторения.
5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.
Методические указания по изучению темы
Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.
Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.
Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .
Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).
Размещения
Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:
Понятие факториала
Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть
Например, 2!=
5!= 
Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.
Примеры:
Из последних двух формул следует, что
Пример.
В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?
Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда
(вариантов).
Пример.
Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Решение:
(способов).
Пример.
Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?
(телефонных номеров).
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:
Пример.
В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?
Решение:
В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)
Пример.
Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?
Решение:
(способов)
Пример.
Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?
Решение:
(способов).
Сочетания
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний вычисляют по формуле: 
(С - первая буква французского слова combinasion).
Пример.
Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение :
(способов).
Пример.
Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?
Решение:
(способов).
Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний
; 
, то есть 
.
Свойства числа сочетаний:
5) 
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.
Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.
Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.
Размещения с повторениями
Число размещений по m
элементов с повторениями из n
различных элементов равно n m
,то есть 
Пример.
Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.
Перестановки с повторениями
Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями
где 
Пример.
Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?
Решение:
Сочетания с повторениями
Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:
Пример.
Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.
Решение:
Искомое число будет 
Бином Ньютона
Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:
Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.
При n = 2 получим формулу ;
При n = 3 получим формулу .
Пример. Определить разложение при n=4.
Решение:
Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:
2. 
;
Рассмотрим следующий треугольник:
………………………….
Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:
……………………….
Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.
В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)
Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).
А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)
При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить: 
2. Вычислить:
3. Вычислить: 
4. Найти n , если 5С n 3 =
5. Найти n , если
6. Найти n , если
7. Найти n
, если 
8. Найти n
, если 
, k n
9. Решить уравнение 
10. Решить систему
11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?
13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?
14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?
15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?
16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?
17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?
18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?
19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?
20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?
21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?
23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?
24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?
27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?
28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?
29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?
30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?
31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.
32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?
33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?
34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?
35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?
36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.
37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).
38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?
39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?
40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?
41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?
42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?
43. Определить разложение при n=5.
44. Определить разложение при n=8.
45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).
46. Найти шестой член разложения 
, если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.
47. В разложении 
коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).
48. В разложении бинома 
найти члены, не содержащие иррациональности.
49. Найти номер того члена разложения 
, который содержит a и b в одинаковых степенях.
Практическое занятие №2
(интерактивное занятие в малых группах)
Булевы функции
Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.
План занятия:
1. Основные операции
2. Булевы функции от n переменных
3. Основные эквивалентности
