Основные методы решения систем уравнений. Как решить систему линейных уравнений

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Инструкция

Способ сложения.
Нужно записать два строго друг под другом:

549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
В произвольно выбранное (из системы) уравнение вставить вместо уже найденного «игрека» число 11 и вычислить второе неизвестное:

Х=61+5*11, х=61+55, х=116.
Ответ данной системы уравнений: х=116, у=11.

Графический способ.
Заключается в практическом нахождении координаты точки, в которой прямые, математически записанные в системе уравнений. Следует начертить графики обоих прямых по отдельности в одной системе координат. Общий вид : – у=kх+b. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух точек, причем, х выбирается произвольно.
Пусть дана система: 2х – у=4

У=-3х+1.
Строится прямая по первому , для удобства его нужно записать: у=2х-4. Придумать (полегче) значения для икс, подставляя его в уравнение, решив его, найти игрек. Получаются две точки, по которым строится прямая. (см рис.)
х 0 1

у -4 -2
Строится прямая по второму уравнению: у=-3х+1.
Так же построить прямую. (см рис.)

у 1 -5
Найти координаты точки пересечения двух построенных прямых на графике (если прямые не пересекаются, то система уравнений не имеет – так ).

Видео по теме

Полезный совет

Если одну и ту же систему уравнений решить тремя разными способами, ответ получится одинаковый (если решение верно).

Источники:

• Алгебра 8 класса
• решить уравнение с двумя неизвестными онлайн
• Примеры решения систем линейных уравнений с двумя

Система уравнений представляет собой совокупность математических записей, каждая из которых содержит некоторое количество переменных. Существует несколько способов их решения.

Вам понадобится

• -линейка и карандаш;
• -калькулятор.

Инструкция

Рассмотрим последовательность решения системы, которая состоит из линейных уравнений имеющих вид: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Где x и y – неизвестные переменные, а b,c – свободные члены. При применении данного способа каждое системы представляет собой координаты точек , соответствующих каждому уравнению. Для начала в каждом случае выразите одну переменную через другую. Затем задайте переменной х несколько любых значений. Достаточно два. Подставьте в уравнение и найдите y. Постройте систему координат, отметьте на ней полученные точки и проведите через них прямую. Аналогичные расчеты необходимо провести и для других частей системы.

Система имеет единственное решение, если построенные прямые пересекаются и одну общую точку. Она несовместна, если параллельны друг другу. И имеет бесконечно много решений, когда прямые сливаются друг с другом.

Данный способ считается очень наглядным. Главным недостатком то, что вычисленные неизвестные имеют приближенные значения. Более точный результат дают так называемые алгебраические методы.

Любое решение системы уравнений стоит проверить. Для этого подставьте вместо переменных полученные значения. Так же можно найти его решение несколькими методами. Если решение системы верное, то все должны получиться одинаковыми.

Часто встречаются уравнения, в которых одно из слагаемых неизвестно. Чтобы решить уравнение, нужно запомнить и проделать с данными числами определенный набор действий.

Вам понадобится

• - лист бумаги;
• - ручка или карандаш.

Инструкция

Представьте, что перед вами 8 кроликов, а у вас есть только 5 морковок. Подумайте, морковок вам нужно еще купить, чтобы каждому кролику досталось по морковке.

Представим эту задачу в виде уравнения: 5 + x = 8. Подставим на место x число 3. Действительно, 5 + 3 = 8.

Когда вы подставляли число на место x, вы проделывали ту же операцию, что и при вычитании 5 из 8. Таким образом, чтобы найти неизвестное слагаемое, вычтите из суммы известное слагаемое.

Допустим, у вас 20 кроликов и только 5 морковок. Составим . Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, значения которых требуется отыскать, называются . Составьте уравнение с одним неизвестным, назовите его x. При решении нашей задачи про кроликов получается следующее уравнение: 5 + x = 20.

Найдем разницу между 20 и 5. При вычитании то число, из которого вычитают, уменьшаемое. То число, которое вычитают, называется , а конечный результат называется разностью. Итак, x = 20 – 5; x = 15. Нужно купить 15 морковок для кроликов.

Сделайте проверку: 5 + 15 = 20. Уравнение решено верно. Разумеется, когда речь идет о таких простых , проверку выполнять необязательно. Однако когда приходится уравнения с трехзначными, четырехзначными и тому числами, обязательно нужно выполнять проверку, чтобы быть абсолютно уверенным в результате своей работы.

Видео по теме

Полезный совет

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Совет 4: Как решить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

Система из трех уравнений с тремя неизвестными может и не иметь решений, несмотря на достаточное количество уравнений. Можно пытаться решить ее с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Метод Крамера помимо решения системы позволяет оценить, является ли система разрешимой, до того, как отыскать значения неизвестных.

Инструкция

Метод подстановки заключается в последовательном одной неизвестной через две других и подстановке полученного результата в уравнения системы. Пусть дана система из трех уравнений в общем виде:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Выразите из первого уравнения x: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и подставьте во второе и третье уравнения, затем из второго уравнения выразите y и подставьте в третье. Вы получите линейное выражение для z через коэффициенты уравнений системы. Теперь идите "обратно": подставьте z во второе уравнение и найдите y, а затем z и y подставьте в первое и найдите x. Процесс в общем виде отображен на рисунке до нахождения z. Дальше запись в общем виде будет слишком громоздкой, на практике, подставив , вы довольно легко найдете все три неизвестные.

Метод Крамера заключается в составлении матрицы системы и вычислении определителя этой матрицы, а также еще трех вспомогательных матриц. Матрица системы составляется из коэффициентов при неизвестных членах уравнений. Столбец, содержащий числа, стоящие в правых частях уравнений, столбцом правых частей. В системы он не используется, но используется при решении системы.

Видео по теме

Обратите внимание

Все уравнения в системе должны поставлять дополнительную независимую от других уравнений информацию. Иначе система будет недоопределена и однозначного решения найти будет не возможно.

Полезный совет

После решения системы уравнений подставьте найденные значения в исходную систему и проверьте, что они удовлетворяют всем уравнениям.

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

• - система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

• решений уравнений с тремя неизвестными

Приступая к решению системы уравнений, разберитесь с тем, какие это уравнения. Достаточно хорошо изучены способы решения линейных уравнений. Нелинейные уравнения чаще всего не решаются. Имеются лишь одни частные случаи, каждый из которых практически индивидуален. Поэтому изучение приемов решения следует начать с уравнений именно линейных. Такие уравнения можно решать даже чисто алгоритмически.

Инструкция

Начните процесс обучения с изучения способов решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными X и Y методом исключения. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Коэффициенты уравнений обозначены индексами, указывающими их месторасположения. Так коэффициент a21 подчеркивает тот факт, что он записан во втором уравнении на первом месте. В общепринятых обозначениях система записывается уравнениями расположенными друг под другом совместно обозначаемых фигурной скобкой справа или слева (подробнее см. рис. 1а).

Нумерация уравнений произвольна. Выберите из них самое простое, например то, в котором перед одной из переменных стоит коэффициент 1 или по крайней мере целое число. Если это уравнение (1), то далее выразите, скажем, неизвестное Y через X (случай исключения Y). Для этого преобразуйте (1) к виду a12*Y=b1-a11*X (или a11*X=b1-a12*Y при исключении Х)), а затем Y=(b1-a11*X)/a12. Подставив последнее в уравнение (2) запишите a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Решите это уравнение относительно X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) или X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Воспользовавшись найденной связью между Y и Х, окончательно получите и второе неизвестное Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

Если бы система была задана с конкретными числовыми коэффициентами, то и выкладки были бы менее громоздки. Зато общее решение дает возможность рассмотреть тот факт, что при найденных неизвестных совершено одинаковы. Да и у числителей просматриваются некоторые закономерности их построения. Если размерность системы уравнений была бы большей двух, то метод исключения приводил бы к весьма громоздким выкладкам. Чтобы их избежать, разработаны чисто алгоритмические способы решения. Самый простой из них алгоритм Крамера (формулы Крамера). Для следует узнать, общая система уравнений из n уравнений.

Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1a). В ней аij – коэффициенты системы,
хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , п). Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, Х – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 1b). По методу Крамера каждое неизвестное xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Определитель ∆ матрицы коэффициентов называют главным, а ∆i вспомогательным. Для каждой неизвестной вспомогательный определитель находят с помощью замены i-го столбца главного определителя на столбец свободных членов. Подробно метод Крамера для случая систем второго и третьего порядка представлен на рис. 2.

Система представляет собой объединение двух или более равенств, в каждом из которых имеется по два или более неизвестных. Существуют два основных способа решения систем линейных уравнений, которые используются в рамках школьной программы. Один из них носит название метода , другой - метода сложения.

Стандартный вид системы из двух уравнений

При стандартном виде первое уравнение имеет вид a1*x+b1*y=с1, второе уравнение имеет вид a2*x+b2*y=c2 и так далее. Например, в случае с двумя частями системы в обоих приведенных a1, a2, b1, b2, c1, c2 - некоторые числовые коэффициенты, представленные в конкретных уравнениях. В свою очередь, x и у представляют собой неизвестные, значения которых нужно определить. Искомые значения обращают оба уравнения одновременно в верные равенства.

Решение системы способом сложения

Для того чтобы решить систему , то есть найти те значения x и y, которые превратят их в верные равенства, необходимо предпринять несколько несложных шагов. Первый из них заключается в преобразовании любого из уравнений таким образом, чтобы числовые коэффициенты для переменной x или y в обоих уравнениях совпадали по модулю, но различались по знаку.

Например, пусть задана система, состоящая из двух уравнений. Первое из них имеет вид 2x+4y=8, второе имеет вид 6x+2y=6. Одним из вариантов выполнения поставленной задачи является домножение второго уравнения на коэффициент -2, которое приведет его к виду -12x-4y=-12. Верный выбор коэффициента является одной из ключевых задач в процессе решения системы способом сложения, поскольку он определяет весь дальнейший ход процедуры нахождения неизвестных.

Теперь необходимо осуществить сложение двух уравнений системы. Очевидно, взаимное уничтожение переменных с равными по значению, но противоположными по знаку коэффициентами приведет его к виду -10x=-4. После этого необходимо решить это простое уравнение, из которого однозначно следует, что x=0,4.

Последним шагом в процессе решения является подстановка найденного значения одной из переменных в любое из первоначальных равенств, имеющихся в системе. Например, подставляя x=0,4 в первое уравнение, можно получить выражение 2*0,4+4y=8, откуда y=1,8. Таким образом, x=0,4 и y=1,8 являются корнями приведенной в примере системы.

Для того чтобы убедиться, что корни были найдены верно, полезно произвести проверку, подставив найденные значения во второе уравнение системы. Например, в данном случае получается равенство вида 0,4*6+1,8*2=6, которое является верным.

Видео по теме

Системы линейных уравнений.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например:

Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.

Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая:

система не имеет решений;

система имеет ровно одно решение;

система имеет бесконечно много решений.
I. Решение системы линейных уравнений методом подстановки.

Данный метод также можно назвать «метод подстановки» или методом исключения неизвестных.

Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа -5 и -7) расположены в левой части уравнения. Запишем систему в обычном виде.

Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Решаем.

Из первого уравнения системы выражаем:
. Это и есть подстановка.

Полученное выражение подставляем во второе уравнение системы вместо переменной

Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :

4) Далее возвращаемся к подстановки , чтобы вычислить значение .Значение нам уже известно, осталось найти:

5) Пара
– единственное решение заданной системы.

Ответ: (2,4; 2,2).

После того, как решена любая система уравнений любым способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике. Делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ первое уравнение:

– получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение:

– получено верное равенство.

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .

Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Однако необходимо оценивать подстановку, так чтобы в ней как можно меньше было дробных выражений. Самый невыгодные из четырех способов – выразить из второго или из первого уравнения:

или

Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Это экономит время, а также снижает вероятность допустить ошибку.
Пример 2

Решить систему линейных уравнений

II. Решение системы методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений можно использовать не метод подстановки, а метод алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы. Этот метод экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Решить систему линейных уравнений:

Возьмём ту же систему, что и первом примере.

1) Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной у одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

2) Решим данное уравнение относительно одной переменной.

Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

3) Теперь всё просто:
– подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе):

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:

Ответ: (2,4; 2,2).

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:

В данном примере можно использовать метод подстановки, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. Действия с дробями мало кто любит, а значит это потеря времени, и велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:

Как видим числа в парах (14 и 7), (-9 и –2) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 14 и -14 либо 18 и –18.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной .

14х – 9у = 24;

7х – 2у = 17.
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 14 и на 7, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты.

Второе уравнение умножаем на 14: 7 =2.

В результате:

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.

Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.

Теперь подставляем найденное значение в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:

Ответ: (3:2)

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной .

14х – 9у = 24;

7х – 2у = 17.

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (-9 и –3) нам нужно получить 18 и –18.

Для этого первое уравнение умножаем на (-2), второе уравнение умножаем на 9:

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:

Теперь подставляем найденное значение х в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:

Ответ: (3:2)

Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. Чаще всего при решении систем стремятся складывать и умножать, а не вычитать и делить.
Пример 5

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
Пример 6.

Решить систему уравнений

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения
а из второго

Ответ: Решений нет.
Пример 7.

решить систему уравнений

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.
III. Решение системы c помощью матриц .

Определителем этой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определитель

1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем данную систему иначе:

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.

Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 - v , получим u 1 = 3,
u 2 = 2. Тогда имеем две системы

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить системы уравнений методом подстановки.

Урок и презентация на тему: "Системы уравнений. Метод подстановки, метод сложения, метод введения новой переменной"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Тренажер к учебникам Атанасяна Л.С. Тренажер к учебникам Погорелова А.В.

Способы решения систем неравенств

Ребята, мы с вами изучили системы уравнений и научились решать их с помощью графиков. Теперь давайте посмотрим, какие еще существуют способы решения систем?
Практически все способы их решения не отличаются от тех, что мы изучали в 7 классе. Сейчас нам нужно внести некоторые корректировки согласно тем уравнениям, что мы научились решать.
Суть всех методов, описанных в данном уроке, это замена системы равносильной системой с более простым видом и способом решения. Ребята, вспомните, что такое равносильная система.

Метод подстановки

Первый способ решения систем уравнений с двумя переменными нам хорошо известен - это метод подстановки. С помощью этого метода мы решали линейные уравнения. Теперь давайте посмотрим, как решать уравнения в общем случае?

Как же нужно действовать при решении?
1. Выразить одну из переменных через другую. Чаще всего в уравнениях используют переменные x и y. В одном из уравнений выражаем одну переменную через другую. Совет: внимательно посмотрите на оба уравнения, прежде чем начать решать, и выберете то, где будет легче выразить переменную.
2. Полученное выражение подставить во второе уравнение, вместо той переменной, которую выражали.
3. Решить уравнение, которое у нас получилось.
4. Подставить получившееся решение во второе уравнение. Если решений несколько, то подставлять надо последовательно, чтобы не потерять пару решений.
5. В результате вы получите пару чисел $(x;y)$, которые надо записать в ответ.

Пример.
Решить систему с двумя переменными методом подстановки: $\begin{cases}x+y=5, \\xy=6\end{cases}$.

Решение.
Внимательно посмотрим на наши уравнения. Очевидно, что выразить y через x в первом уравнении гораздо проще.
$\begin{cases}y=5-x, \\xy=6\end{cases}$.
Подставим первое выражение во второе уравнение $\begin{cases}y=5-x, \\x(5-2x)=6\end{cases}$.
Решим второе уравнение отдельно:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Получили два решения второго уравнения $x_1=2$ и $x_2=3$.
Последовательно подставим во второе уравнение.
Если $x=2$, то $y=3$. Если $x=3$, то $y=2$.
Ответом будет две пары чисел.
Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$.

Метод алгебраического сложения

Этот метод мы также изучали в 7 классе.
Известно, что рациональное уравнение от двух переменных мы можем умножить на любое число, не забывая умножить обе части уравнения. Мы умножали одно из уравнений на некое число так, чтобы при сложении получившегося уравнения со вторым уравнением системы, одна из переменных уничтожалась. Потом решали уравнение относительно оставшейся переменной.
Этот метод работает и сейчас, правда не всегда возможно уничтожить одну из переменных. Но позволяет значительно упростить вид одного из уравнений.

Пример.
Решить систему: $\begin{cases}2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.

Решение.
Умножим первое уравнение на 2.
$\begin{cases}4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Как видим, вид получившегося уравнения гораздо проще исходного. Теперь мы можем воспользоваться методом подстановки.
$\begin{cases}4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
Выразим x через y в получившемся уравнении.
$\begin{cases}4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end{cases}$.
$\begin{cases}x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end{cases}$.
Получили $y=-1$ и $y=-3$.
Подставим эти значения последовательно в первое уравнение. Получим две пары чисел: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.
Ответ: $(1;-1)$ и $(-1;-3)$.

Метод введения новой переменной

Этот метод мы также изучали, но давайте посмотрим на него еще раз.

Пример.
Решить систему: $\begin{cases}\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=3, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.

Решение.
Введем замену $t=\frac{x}{y}$.
Перепишем первое уравнение с новой переменной: $t+\frac{2}{t}=3$.
Решим получившееся уравнение:
$\frac{t^2-3t+2}{t}=0$.
$\frac{(t-2)(t-1)}{t}=0$.
Получили $t=2$ или $t=1$. Введем обратную замену $t=\frac{x}{y}$.
Получили: $x=2y$ и $x=y$.

Для каждого из выражений исходную систему надо решить отдельно:
$\begin{cases}x=2y, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.   $\begin{cases}x=y, \\2x^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\8y^2-y^2=1\end{cases}$.    $\begin{cases}x=y, \\2y^2-y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\7y^2=1\end{cases}$.       $\begin{cases}x=2y, \\y^2=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2y, \\y=±\frac{1}{\sqrt{7}}\end{cases}$.      $\begin{cases}x=y, \\y=±1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=±\frac{2}{\sqrt{7}}, \\y=±\frac{1}{\sqrt{7}}\end{cases}$.     $\begin{cases}x=±1, \\y=±1\end{cases}$.
Получили четыре пары решений.
Ответ: $(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}})$; $(-\frac{2}{\sqrt{7}};-\frac{1}{\sqrt{7}})$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Пример.
Решить систему: $\begin{cases}\frac{2}{x-3y}+\frac{3}{2x+y}=2, \\\frac{8}{x-3y}-\frac{9}{2x+y}=1\end{cases}$.

Решение.
Введем замену: $z=\frac{2}{x-3y}$ и $t=\frac{3}{2x+y}$.
Перепишем исходные уравнения с новыми переменными:
$\begin{cases}z+t=2, \\4z-3t=1\end{cases}$.
Воспользуемся методом алгебраического сложения:
$\begin{cases}3z+3t=6, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}7z=7, \\4z-3t=1\end{cases}$.
$\begin{cases}z=1, \\-3t=1-4\end{cases}$.
$\begin{cases}z=1, \\t=1\end{cases}$.
Введем обратную замену:
$\begin{cases}\frac{2}{x-3y}=1, \\\frac{3}{2x+y}=1\end{cases}$.
$\begin{cases}x-3y=2, \\2x+y=3\end{cases}$.
Воспользуемся методом подстановки:
$\begin{cases}x=2+3y, \\4+6y+y=3\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2+3y, \\7y=-1\end{cases}$.
$\begin{cases}x=2+3(\frac{-1}{7}), \\y=\frac{-1}{7}\end{cases}$.
$\begin{cases}x=\frac{11}{7}, \\x=-\frac{11}{7}\end{cases}$.
Ответ: $(\frac{11}{7};-\frac{1}{7})$.

Задачи на системы уравнений для самостоятельного решения

Решите системы:
1. $\begin{cases}2x-2y=6, \\xy =-2\end{cases}$.
2. $\begin{cases}x+y^2=3, \\xy^2=4\end{cases}$.
3. $\begin{cases}xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end{cases}$.
4. $\begin{cases}\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4, \\\frac{1}{x}+\frac{3}{y}=9\end{cases}$.
5. $\begin{cases}\frac{5}{x^2-xy}+\frac{4}{y^2-xy}=-\frac{1}{6}, \\\frac{7}{x^2-xy}-\frac{3}{y^2-xy}=\frac{6}{5}\end{cases}$.